自由空間に存在する2個のスピン1/2粒子の運動を表す表式

前回、ヘリウム原子に存在する2つの電子の波動関数について解説しました。この表式は、原子核との相互作用や粒子同士の相互作用が無い場合にも対応することができるので、自由空間中の2つの粒子の運動を調べてみるよ。自由空間の固有状態は平面波 $\exp( i \boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r} )$ なので、これを基底関数系として空間対称・空間反対称の波動関数を次のように表すよ。

\begin{align}
\psi^{(S)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t) &\ =\sum_{n_1,n_2} c_{n_1,n_2} \chi^{(S)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2)e^{-i\omega t} =\sum_{n_1,n_2} c_{n_1,n_2} \left( e^{i \boldsymbol{k}_{n_1}\cdot \boldsymbol{r}_1 +i \boldsymbol{k}_{n_2}\cdot \boldsymbol{r}_2} + e^{i \boldsymbol{k}_{n_1}\cdot \boldsymbol{r}_2 +i \boldsymbol{k}_{n_2}\cdot \boldsymbol{r}_1}\right)e^{-i\omega t} \\
\psi^{(A)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t) &\ =\sum_{n_1,n_2} c_{n_1,n_2} \chi^{(A)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2)e^{-i\omega t} = \sum_{n_1,n_2}
c_{n_1,n_2} \left( e^{i \boldsymbol{k}_{n_1}\cdot \boldsymbol{r}_1 +i \boldsymbol{k}_{n_2}\cdot \boldsymbol{r}_2}
– e^{i \boldsymbol{k}_{n_1}\cdot \boldsymbol{r}_2 +i \boldsymbol{k}_{n_2}\cdot \boldsymbol{r}_1}\right)e^{-i\omega t}\\
\end{align}

空間対称・空間反対称の波動関数は、それぞれ次のシュレーディンガー方程式を満たすよ。

\begin{align}
i\hbar \frac{\partial }{ \partial t} \psi^{(S)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t) &\ = \hat{H} \psi^{(S)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t) \\
i\hbar \frac{\partial }{ \partial t} \psi^{(A)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t) &\ = \hat{H}
\psi^{(A)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t)
\end{align}

\begin{align}
(\hat{H}_1+\hat{H}_2) \chi^{(S)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) = (E_{n_1}+E_{n_2}) \chi^{(S)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) \\
(\hat{H}_1+\hat{H}_2) \chi^{(A)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) = (E_{n_1}+E_{n_2})
\chi^{(A)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2)
\end{align}

\begin{align}
E_{n_1} = \frac{\hbar^2 \boldsymbol{k}_{n_1}^2}{2m_e} \ , \ E_{n_2} = \frac{\hbar^2 \boldsymbol{k}_{n_2}^2}{2m_e} \ , \ E = E_{n_1} + E_{n_2} \ , \ \omega = \frac{E}{\hbar}
\end{align}

自由空間内で2つの粒子を運動させよう!

上記の表式を用いて、自由空間内で2つの粒子を1次元上で運動させてみよう。展開係数を、それぞれの粒子の中心波数を $ k_{10} $ と $ k_{20} $ とするガウス分布

\begin{align}
c_{n_1, n_2} = e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_1}-k_{n_{10}}}{2\sigma}\right)^2} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_2}-k_{n_{20}}}{2\sigma}\right)^2}
\end{align}

とした2つの波束を考えよう。

\begin{align}
\psi^{(S)}(x_1, x_2, t) &\ =\sum_{n_1,n_2} \left( e^{i k_{n_1}x_1 +i
k_{n_2}x_2} + e^{i k_{n_1}x_2 +i k_{n_2}x_1}\right) e^{-i\omega t}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_1}-k_{n_{10}}}{2\sigma}\right)^2}
e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_2}-k_{n_{20}}}{2\sigma}\right)^2} \\
\psi^{(A)}(x_1, x_2, t) &\ =\sum_{n_1,n_2} \left( e^{i k_{n_1}x_1 +i
k_{n_2}x_2} – e^{i k_{n_1}x_2 +i k_{n_2}x_1}\right) e^{-i\omega t}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_1}-k_{n_{10}}}{2\sigma}\right)^2}
e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_2}-k_{n_{20}}}{2\sigma}\right)^2}
\end{align}

この積分を数値的に計算することで、2つの粒子の時間発展を計算することができるよ。そして、粒子1あるいは粒子2が位置 $x$ に存在する確率を次のとおりに定義するよ。

\begin{align}
\rho(x) \equiv \int |\psi^{(S)}(x, x_2, t)|^2 dx_2 + \int |\psi^{(S)}(x_1, x, t)|^2 dx_1
\end{align}

次回、対称波動関数と反対称波動関数の違いを可視化するよ。


「波束」の作り方(量子力学シミュレーション超入門【第3回】)

ポテンシャルが0のシュレーディンガー方程式の解である平面波は前回示したね。この平面波を重ね合わせることで、任意の波形を作ることができるよ。今回は、波数分布をガウス分布とした波束の作り方を解説するよ。波束は異なる波数(速度)の平面波の重ね合わせで作ることができるよ。中心波数 $k_0$ としたときの表式は次のとおりだよ。

\begin{align}
\psi(x,t)= \frac{1}{ \sqrt{2\sigma \pi L}}\int dk\, \exp\left[ ik(x-x_0) -i\omega t-\left(\frac{ k-k_0 }{2\sigma} \right)^2 \right]
\end{align}

$k_0$ は波束が進む速度 $v$ と、 $v_0 =p_0 / m_e = \hbar k_0 / m_e$ の関係があるよ。

波束の運動の計算結果

波束の中心エネルギー: $E_0 = 10[{\rm eV}]$
空間スケール: $10^{-11}[{\rm m}]$ //横軸の値
時間スケール: $10^{-16}[{\rm s}]$ //動画1コマの時間間隔

波束の中心エネルギー: $E_0 = 0[{\rm eV}]$
空間スケール: $10^{-11}[{\rm m}]$ //横軸の値
時間スケール: $4\times 10^{-15}[{\rm s}]$ //動画1コマの時間間隔

ちなみに、どんな波束も時間とともに広がっていくよ。その理由は分散関係 $\omega$ が $k$ に比例しないからだよ。

プログラムソース(C++)


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// 【第3回】「波束」の作り方
////////////////////////////////////////////////////////////////////
#define _USE_MATH_DEFINES
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <iomanip>
#include <string>
#include <complex>

/////////////////////////////////////////////////////////////////
//物理定数
/////////////////////////////////////////////////////////////////
//光速
const double c = 2.99792458E+8;
//真空の透磁率
const double mu0 = 4.0*M_PI*1.0E-7;
//真空の誘電率
const double epsilon0 = 1.0 / (4.0*M_PI*c*c)*1.0E+7;
//プランク定数
const double h = 6.6260896 * 1.0E-34;
double hbar = h / (2.0*M_PI);
//電子の質量
const double me = 9.10938215 * 1.0E-31;
//電子ボルト
const double eV = 1.60217733 * 1.0E-19;
//複素数
const std::complex<double> I = std::complex<double>(0.0, 1.0);
/////////////////////////////////////////////////////////////////
//物理系の設定
/////////////////////////////////////////////////////////////////
//空間分割数
const int Nx = 500;
//空間分割サイズ
double dx = 1.0E-10;
//重ね合わせの数
const int N = 200;
//パルスの幅
double delta_x = 1.0E-8;
double sigma = 2.0*sqrt(2.0*log(2.0)) / (delta_x);
//波数の間隔
double dk = 30.0 / (delta_x * double(N + 1));
//電子波のエネルギー
const double E0 = 10.0 * eV;
//波数の中心
double k0 = sqrt(2.0 * me * E0 / pow(hbar, 2));
//角振動数の中心
double omega0 = hbar / (2.0*me) * pow(k0, 2);

//計算時間の幅
const int ts = 0, te = 300;
//時間間隔
double dt = 1.0 * 1.0E-16;
/////////////////////////////////////////////////////////////////
const int precision_N = 4;

int main() {
	//出力ストリームによるファイルオープン
	std::ofstream fout;
	fout.open("wave.txt");
	fout << "#x:位置" << std::endl;
	fout << "#y:確率振幅" << std::endl;
	fout << "#legend: 実部 虚部 絶対値" << std::endl;
	fout << "#showLines: true true true" << std::endl;
	fout << "#showMarkers: false false false" << std::endl;
	fout << "#xrange:" << -Nx / 2 << " " << Nx / 2 << " " << Nx / 10 << std::endl;
	fout << "#yrange:" << -0.30 << " " << 0.30 << " " << 0.1 << std::endl;

	//各時刻における計算を行う
	for (int tn = ts; tn <= te; tn++) {
		double t_real = dt * double(tn);
		std::cout << tn << std::endl;
		fout << "#coma:" << tn << std::endl;

		for (int nx = 0; nx <= Nx; nx++) {
			double x = dx * (nx - Nx/2);
			std::complex<double> Psi = std::complex<double>(0.0, 0.0);
			for (int jz = 0; jz <= N; jz++) {
				double k = (k0 + dk * double(jz - N / 2));
				double omega = hbar / (2.0*me) * pow(k, 2);
				Psi += exp(I*(k*x - omega * t_real)) * exp(-1.0 / 2.0 * pow((k - k0) / sigma, 2));
			}
			Psi = Psi / double(N);
			fout << std::setprecision(precision_N);
			fout << x / dx << " " << Psi.real() << " " << Psi.imag() << " " << abs(Psi) << std::endl;
		}
		fout << std::endl;
	}
	fout.close();
}


「平面波」の作り方(量子力学シミュレーション超入門【第2回】)

ポテンシャルが0のシュレーディンガー方程式の解は、平面波って呼ばれる解になるよ。

平面波の表式(1次元)

波数 $k$、角振動数 $\omega$ としたときの位置 $x$、時刻 $t$ の波動関数 $\Psi(x,t)$ だよ。

\begin{align}
\Psi(x,t) = A e^{i k x – i \omega i } + B e^{i k x + i \omega t}
\end{align}

$k$ と $\omega$ はエネルギー $E$ と

\begin{align}
k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \ , \ \omega = \frac{E}{\hbar}
\end{align}

と関係があるから、$k$ と $\omega$ は独立ではなくて

\begin{align}
\omega = \frac{\hbar k^2}{2m}
\end{align}

という分散関係って呼ばれる関係もあるね。

特別な場合の計算結果

電子のエネルギー $E = 0.25, 1.0, 4.0 [{\rm eV}] $ の平面波の実部の様子を可視化するためのデータ出力用プログラムソースだよ。

プログラムソース(C++)


////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 自由空間中の粒子
////////////////////////////////////////////////////////////////////
#define _USE_MATH_DEFINES
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <string>
#include <stdio.h>

/////////////////////////////////////////////////////////////////
//物理定数
/////////////////////////////////////////////////////////////////
//プランク定数
const double h = 6.6260896 * 1.0E-34;
double hbar = h / (2.0*M_PI);
//電子の質量
const double me = 9.10938215 * 1.0E-31;
//電子ボルト
const double eV = 1.60217733 * 1.0E-19;
/////////////////////////////////////////////////////////////////
//物理系の設定
/////////////////////////////////////////////////////////////////

//電子のエネルギー
double E1 = 0.25 * eV;
double E2 = 1.0 * eV;
double E3 = 4.0 * eV;
//波数
double k1 = sqrt(2.0 * me * E1 / (hbar*hbar));
double k2 = sqrt(2.0 * me * E2 / (hbar*hbar));
double k3 = sqrt(2.0 * me * E3 / (hbar*hbar));
//角振動数
double omega1 = E1 / hbar;
double omega2 = E2 / hbar;
double omega3 = E3 / hbar;

//時間間隔
double dt = 1E-16;
//空間刻み間隔
double dx = 1E-10;

int XN = 400;
int TN = 1000;

double x_min = -20.0;
double x_max = 20.0;

/////////////////////////////////////////////////////////////////

int main() {

	std::cout << 2.0*M_PI / omega2 << " " << 2.0*M_PI / k2 << std::endl;

	//出力ストリームによるファイルオープン
	std::ofstream fout;
	fout.open("wave.txt");
	fout << "#x:位置" << std::endl;
	fout << "#y:波動関数の実部" << std::endl;
	fout << "#showLines: true true true" << std::endl;
	fout << "#showMarkers: false false false" << std::endl;
	fout << "#xrange:" << x_min << " " << x_max << " " << 2 << std::endl;
	fout << "#yrange:" << -1.2 << " " << 1.2 << " " << 0.2 << std::endl;

	//各時刻における計算を行う
	for (int tn = 0; tn < TN; tn++) {
		double t = dt * tn;
		std::cout << tn << std::endl;
		fout << "#coma:" << tn << std::endl;

		for (int ix = 0; ix <= XN; ix++) {
			double x = (x_min + (x_max - x_min) * ix / XN) * dx;
			double psi1 = cos(k1 * x - omega1 * t);
			double psi2 = cos(k2 * x - omega2 * t);
			double psi3 = cos(k3 * x - omega3 * t);
			fout << x / dx << " " << psi1 << " " << psi2 << " " << psi3 << std::endl;
		}
		fout << std::endl;
	}

	fout.close();
}