前回、ヘリウム原子に存在する２つの電子の波動関数について解説しました。この表式は、原子核との相互作用や粒子同士の相互作用が無い場合にも対応することができるので、自由空間中の２つの粒子の運動を調べてみるよ。自由空間の固有状態は平面波 $\exp( i \boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r} )$ なので、これを基底関数系として空間対称・空間反対称の波動関数を次のように表すよ。
\begin{align}
\psi^{(S)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t) &\ =\sum_{n_1,n_2} c_{n_1,n_2} \chi^{(S)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2)e^{-i\omega t} =\sum_{n_1,n_2} c_{n_1,n_2} \left( e^{i \boldsymbol{k}_{n_1}\cdot \boldsymbol{r}_1 +i \boldsymbol{k}_{n_2}\cdot \boldsymbol{r}_2} + e^{i \boldsymbol{k}_{n_1}\cdot \boldsymbol{r}_2 +i \boldsymbol{k}_{n_2}\cdot \boldsymbol{r}_1}\right)e^{-i\omega t} \\
\psi^{(A)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t) &\ =\sum_{n_1,n_2} c_{n_1,n_2} \chi^{(A)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2)e^{-i\omega t} = \sum_{n_1,n_2}
c_{n_1,n_2} \left( e^{i \boldsymbol{k}_{n_1}\cdot \boldsymbol{r}_1 +i \boldsymbol{k}_{n_2}\cdot \boldsymbol{r}_2}
– e^{i \boldsymbol{k}_{n_1}\cdot \boldsymbol{r}_2 +i \boldsymbol{k}_{n_2}\cdot \boldsymbol{r}_1}\right)e^{-i\omega t}\\
\end{align}
空間対称・空間反対称の波動関数は、それぞれ次のシュレーディンガー方程式を満たすよ。
\begin{align}
i\hbar \frac{\partial }{ \partial t} \psi^{(S)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t) &\ = \hat{H} \psi^{(S)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t) \\
i\hbar \frac{\partial }{ \partial t} \psi^{(A)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t) &\ = \hat{H}
\psi^{(A)}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, t)
\end{align}
\begin{align}
(\hat{H}_1+\hat{H}_2) \chi^{(S)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) = (E_{n_1}+E_{n_2}) \chi^{(S)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) \\
(\hat{H}_1+\hat{H}_2) \chi^{(A)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) = (E_{n_1}+E_{n_2})
\chi^{(A)}_{n_1,n_2}(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2)
\end{align}
\begin{align}
E_{n_1} = \frac{\hbar^2 \boldsymbol{k}_{n_1}^2}{2m_e} \ , \ E_{n_2} = \frac{\hbar^2 \boldsymbol{k}_{n_2}^2}{2m_e} \ , \ E = E_{n_1} + E_{n_2} \ , \ \omega = \frac{E}{\hbar}
\end{align}
自由空間内で２つの粒子を運動させよう！
上記の表式を用いて、自由空間内で２つの粒子を１次元上で運動させてみよう。展開係数を、それぞれの粒子の中心波数を $ k_{10} $ と $ k_{20} $ とするガウス分布
\begin{align}
c_{n_1, n_2} = e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_1}-k_{n_{10}}}{2\sigma}\right)^2} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_2}-k_{n_{20}}}{2\sigma}\right)^2}
\end{align}
とした２つの波束を考えよう。
\begin{align}
\psi^{(S)}(x_1, x_2, t) &\ =\sum_{n_1,n_2} \left( e^{i k_{n_1}x_1 +i
k_{n_2}x_2} + e^{i k_{n_1}x_2 +i k_{n_2}x_1}\right) e^{-i\omega t}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_1}-k_{n_{10}}}{2\sigma}\right)^2}
e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_2}-k_{n_{20}}}{2\sigma}\right)^2} \\
\psi^{(A)}(x_1, x_2, t) &\ =\sum_{n_1,n_2} \left( e^{i k_{n_1}x_1 +i
k_{n_2}x_2} – e^{i k_{n_1}x_2 +i k_{n_2}x_1}\right) e^{-i\omega t}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_1}-k_{n_{10}}}{2\sigma}\right)^2}
e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{k_{n_2}-k_{n_{20}}}{2\sigma}\right)^2}
\end{align}
この積分を数値的に計算することで、２つの粒子の時間発展を計算することができるよ。そして、粒子１あるいは粒子２が位置 $x$ に存在する確率を次のとおりに定義するよ。
\begin{align}
\rho(x) \equiv \int |\psi^{(S)}(x, x_2, t)|^2 dx_2 + \int |\psi^{(S)}(x_1, x, t)|^2 dx_1
\end{align}
次回、対称波動関数と反対称波動関数の違いを可視化するよ。