2021年7月 – シミュ君日記

2021年7月30日2021年8月16日

【第15話】周期ポテンシャル（クローニッヒ・ペニーモデル）のエネルギーバンドの計算方法【Pythonコピペで量子力学完全攻略マニュアル】

#################################################################
## クローニッヒ・ペニーモデルのエネルギーバンド
#################################################################
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#図全体
fig = plt.figure(figsize=(15, 8))
#全体設定
plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman' #フォント
plt.rcParams['font.size'] = 24 #フォントサイズ
plt.rcParams["mathtext.fontset"] = 'cm' #数式用フォント
#カラーリストの取得
colors = plt.rcParams['axes.prop_cycle'].by_key()['color']
#虚数単位
I = 0.0 + 1.0j

######################################
#　物理定数
######################################
#プランク定数
h = 6.6260896 * 10**-34
hbar = h / (2.0 * np.pi)
#電子の質量
me = 9.10938215 * 10**-31
#電子ボルト
eV = 1.60217733 * 10**-19

######################################
#　物理系の設定
######################################
#空間刻み間隔
nm = 1E-9
#井戸の形状
d1 = 1.5 * nm
d2 = 1.0 * nm
#周期
l = d1 + d2
#井戸の深さ
V1 = 0 * eV
V2 = -10.0 * eV

######################################
#　転送行列の計算
######################################

def TransferMatrix( k, n = 0 ):
	#各領域の波数
	k1 = np.sqrt(np.complex128( k**2 - 2.0 * me * V1 / hbar**2 ))
	k2 = np.sqrt(np.complex128( k**2 - 2.0 * me * V2 / hbar**2 ))
	# 転送行列の定義
	T1  = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
	T2  = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
	M21 = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
	M12 = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
	# 境界
	M21[0][0] = (1.0 + 0.0j + k1 / k2) / 2.0
	M21[0][1] = (1.0 + 0.0j - k1 / k2) / 2.0
	M21[1][0] = (1.0 + 0.0j - k1 / k2) / 2.0
	M21[1][1] = (1.0 + 0.0j + k1 / k2) / 2.0
	M12[0][0] = (1.0 + 0.0j + k2 / k1) / 2.0
	M12[0][1] = (1.0 + 0.0j - k2 / k1) / 2.0
	M12[1][0] = (1.0 + 0.0j - k2 / k1) / 2.0
	M12[1][1] = (1.0 + 0.0j + k2 / k1) / 2.0
	T1[0][0] = np.exp( I * k1 * d1 )
	T1[0][1] = 0
	T1[1][0] = 0
	T1[1][1] = np.exp( - I * k1 * d1 )
	T2[0][0] = np.exp( I * k2 * d2 )
	T2[0][1] = 0
	T2[1][0] = 0
	T2[1][1] = np.exp( - I * k2 * d2 )
	#転送行列の計算
	M = M12 @ T2 @ M21 @ T1 

	for _n in range(n):
		M = M @ M

	#転送行列
	return M

#################################################################
## クローニッヒ・ペニーのモデルの分散関係
#################################################################
#計算点数
NK = 1000000
#エネルギーの計算範囲
E_min = 1.0/NK
E_max = 4.0
#エネルギーの行列
Es = np.linspace(E_min, E_max, NK)
#y値配列
ys = []
#Kl値配列と対応するエネルギー配列
Kls = []
EBs = []
#バンド番号
bn = 0
#Kl値配列と対応するエネルギー配列
BandEdgeEs = []
BandCenterEs = []
#バンド番号
BandEdgeNumber = 0
BandCenterNumber = 0
#バンド内フラグ
flag_out = True
flag_center = False
sign = 0

for E in Es:
	E = E * eV
	#波数の計算
	k = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * E / hbar**2 ))
	M = TransferMatrix( k )
	y = ( M[0][0] + M[1][1]) / 2.0
	ys.append( y.real )

	if( abs(y.real) <= 1.0 ):
		if( flag_out == True ):
			flag_out = False
			BandEdgeEs.append( E/eV )
			Kls.append([])
			EBs.append([])
		Kl = np.arccos( y.real )
		Kls[ bn ].append( Kl / np.pi )
		EBs[ bn ].append( E / eV )

		if( sign * y.real/abs(y.real) < 0 ):
			BandCenterEs.append( E/eV )
		sign = y.real/abs(y.real)
	else:
		if( flag_out == False ):
			flag_out = True
			bn += 1
			BandEdgeEs.append( E/eV )

print(BandEdgeEs)
print(BandCenterEs)

#################################################################
## 転送行列のトレース
#################################################################
plt.title( r"$y=\frac{1}{2}{\rm Tr} (M)$" + u"（" + r"$l=2.5[{\rm nm}]$" + " , " + r"$d=1.0[{\rm nm}]$"+ " , " + r"$V=-10.0[{\rm eV}]$" + u"）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.xlabel(r"$E$" + r"$[{\rm eV}]$" , fontsize=20)
plt.ylabel(r"$y(E)$",  fontsize=20)
#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
#描画範囲を設定
plt.xlim([0, 4])
plt.ylim([-2.5, 2.5])
#壁の描画
plt.hlines([-1], 0, 10, "blue", linestyles='dashed', linewidth = 3 )
plt.hlines([1],  0, 10, "blue", linestyles='dashed', linewidth = 3 )
#トレース値のグラフの描画
plt.plot(Es, ys, linestyle='solid', linewidth = 5)

#################################################################
## クローニッヒ・ペニーのモデルのエネルギーバンド
#################################################################
fig2 = plt.figure(figsize=(15, 8))
plt.title( u"クローニッヒ・ペニーモデルのエネルギーバンド（" + r"$l=2.5[{\rm nm}]$" + " , " + r"$d=1.0[{\rm nm}]$"+ " , " + r"$V=-10.0[{\rm eV}]$" + u"）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.ylabel(r"$E$" + r"$[{\rm eV}]$" , fontsize=20)
plt.xlabel(r"$Kl/\pi$",  fontsize=20)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#描画範囲を設定
plt.xlim([0, 1])
plt.ylim([0, 4])

#分散関係の描画
for n in range(bn):
	plt.plot(Kls[n], EBs[n], linewidth = 5, color = colors[0])

#グラフの表示
plt.show()

2021年7月29日2021年8月16日

【第14話】箱型の障壁へ照射した電子パルスの運動【Pythonコピペで量子力学完全攻略マニュアル】

#################################################################
## 箱型障壁へ照射したガウス波束の時間発展
#################################################################
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#図全体
fig = plt.figure(figsize=(15, 8))
#全体設定
plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman' #フォント
plt.rcParams['font.size'] = 24 #フォントサイズ
plt.rcParams["mathtext.fontset"] = 'cm' #数式用フォント
#カラーリストの取得
colors = plt.rcParams['axes.prop_cycle'].by_key()['color']

#虚数単位
I = 0.0 + 1.0j

######################################
#　物理定数
######################################
#プランク定数
h = 6.6260896 * 10**-34
hbar = h / (2.0 * np.pi)
#電子の質量
me = 9.10938215 * 10**-31
#電子ボルト
eV = 1.60217733 * 10**-19

######################################
#　物理系の設定
######################################
#波束の中心エネルギー
E0 = 20.0 * eV
#重ね合わせの数
NK = 200
#ガウス分布の幅
sigma = 2 / ( 1.25 * 10**-9 )
#波数の間隔
dk = 10.0 * sigma / NK
#ガウス分布の中心波数
k0 = np.sqrt( 2.0 * me * E0 / hbar**2)

#計算時間の幅
ts = 0
te = 1000
#時間間隔
dt = 0.05 * 10**-16

#空間刻み間隔
nm = 1E-9
#壁の厚さ
d = 0.2 * nm
#壁の高さ
V1 = 0.0 * eV
V2 = 40.0 * eV
V3 = 0.0 * eV

######################################
#　反射係数と透過係数を計算する関数定義
######################################
def ReflectionCoefficient( MM ):
    return - MM[1][0] / MM[1][1] 
def TransmissionCoefficient(MM):
    return (MM[0][0] * MM[1][1] - MM[0][1] * MM[1][0] ) / MM[1][1]

def calculateCoefficient( k1, k2, k3 ):
    
    #反射係数と透過係数の計算
    # 転送行列の定義
    M21 = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
    T2  = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
    M32 = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
    # 境界
    M21[0][0] = (1.0 + 0.0j + k1 / k2) / 2.0
    M21[0][1] = (1.0 + 0.0j - k1 / k2) / 2.0
    M21[1][0] = (1.0 + 0.0j - k1 / k2) / 2.0
    M21[1][1] = (1.0 + 0.0j + k1 / k2) / 2.0
    M32[0][0] = (1.0 + 0.0j + k2 / k3) / 2.0
    M32[0][1] = (1.0 + 0.0j - k2 / k3) / 2.0
    M32[1][0] = (1.0 + 0.0j - k2 / k3) / 2.0
    M32[1][1] = (1.0 + 0.0j + k2 / k3) / 2.0
    T2[0][0] = np.exp( I * k2 * d )
    T2[0][1] = 0
    T2[1][0] = 0
    T2[1][1] = np.exp( - I * k2 * d )
    #転送行列の計算
    M31 = M32 @ T2 @ M21;
    #反射係数と透過係数の計算
    rc = ReflectionCoefficient(M31);
    tc = TransmissionCoefficient(M31);
    #領域２の係数
    A2_p = M21[0][0] * 1.0 + M21[0][1] * rc
    A2_m = M21[1][0] * 1.0 + M21[1][1] * rc    

    return rc, tc, A2_p, A2_m

######################################
#　波動関数の計算
######################################
#ガウス波束の初期位置
x0 = -3.0 * nm
#描画範囲
x_min = -5.0 * nm
x_max =  5.0 * nm
#描画区間数
NX = 500
#座標点配列の生成
x1 = np.linspace(x_min, 0, NX)
x2 = np.linspace(0, d,     5)
x3 = np.linspace(d, x_max, NX)

#ガウス波束の値を計算する関数
def Psi( x, t, region ):
    #波動関数値の初期化
    psi = x * (0.0 + 0.0j)
    #各波数ごとの寄与を足し合わせる
    for kn in range(NK):
        #各波数を取得
        k = k0 + dk * (kn - NK/2)
        E = (hbar * k)**2 / (2.0 * me)
        #波数から各振動数を取得
        omega = hbar / (2.0 * me) * k**2
        #各領域の波数
        k1 = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * (E - V1) / hbar**2 ))
        k2 = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * (E - V2) / hbar**2 ))
        k3 = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * (E - V3) / hbar**2 ))
        #係数の取得
        rc, tc, A2_p, A2_m = calculateCoefficient( k1, k2, k3 )
        #ガウス分布
        Ck = np.exp( - I * k1 * x0 ) * np.exp( -( (k - k0) / (2.0 * sigma) )**2 )
        #平面波を足し合わせる
        if(region == 1):
            #入射波と反射波と透過波
            psi_I = np.exp( I * k1 * x - I * omega * t )
            psi_R = rc * np.exp( - I * k1 * x - I * omega * t )
            psi += (psi_I + psi_R) * Ck
        elif(region == 2):
            psi2_p = A2_p * np.exp(   I * k2 * x - I * omega * t )
            psi2_m = A2_m * np.exp( - I * k2 * x - I * omega * t )
            psi += (psi2_p + psi2_m) * Ck
        elif(region == 3):
            psi_T = tc * np.exp( I * k3 * ( x - d ) - I * omega * t )
            psi += psi_T * Ck

    return psi

#基準となる振幅を取得
psi_abs = abs(Psi( x0, 0, 1 ))

#################################################################
## ガウス波束の時間発展アニメーションの作成
#################################################################
#アニメーション作成用
ims=[]
    
#各時刻における計算
for tn in range(ts, te + 1):
    t = dt * tn

    #波動関数の計算
    psi1 = Psi( x1, t, 1 ) / psi_abs
    psi2 = Psi( x2, t, 2 ) / psi_abs
    psi3 = Psi( x3, t, 3 ) / psi_abs

    #各コマを描画
    img  = plt.plot(x1/nm, psi1.real, colors[0], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x1/nm, psi1.imag, colors[1], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x1/nm, abs(psi1), colors[2], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x2/nm, psi2.real, colors[0], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x2/nm, psi2.imag, colors[1], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x2/nm, abs(psi2), colors[2], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x3/nm, psi3.real, colors[0], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x3/nm, psi3.imag, colors[1], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x3/nm, abs(psi3), colors[2], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    ims.append( img )


#グラフの描画（波動関数）
plt.title( u"箱型障壁へ照射したガウス波束の波動関数（" + r"$ E_0 = 20.0 [{\rm eV}], d = 0.2[{\rm nm}], V = 40.0[{\rm eV}] $" + u"）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.xlabel(r"$x\, [{\rm nm}]$", fontsize=30)
plt.ylabel(r"$ \psi(x, t) $", fontsize=30)

#余白の調整
plt.subplots_adjust(left = 0.1, right = 0.98, bottom=0.12, top = 0.95)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#壁の描画
plt.vlines([0], -0.02, 2.02, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )
plt.vlines([0.2], -0.02, 2.02, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )
plt.hlines([0], -5,  0, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )
plt.hlines([2], 0,  0.2, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )
plt.hlines([0], 0.2,  5, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )


#描画範囲を設定
plt.xlim([x_min/nm, x_max/nm])
plt.ylim([-1.0, 2.0])

#アニメーションの生成
ani = animation.ArtistAnimation(fig, ims, interval=10)

#アニメーションの保存
#ani.save("output.html", writer=animation.HTMLWriter())
#ani.save("output.gif", writer="imagemagick")
ani.save("output2.mp4", writer="ffmpeg", dpi=300)

#################################################################
## ガウス分布の描画（横軸：エネルギー）
#################################################################
fig_gaussian = plt.figure(figsize=(15, 8))

#波数の計算範囲
k_min = k0 - dk * NK / 2.0
k_max = k0 + dk * NK / 2.0

E_min = ( hbar * k_min )**2 / (2.0 * me) / eV
E_max = ( hbar * k_max )**2 / (2.0 * me) / eV

#波数座標点配列の生成
k = np.linspace(k_min, k_max, NK)
E = ( hbar * k )**2 / (2.0 * me) / eV
#正規分布
c_n = np.exp( -((k - k0) / (2.0 * sigma))**2 )

#グラフの描画（固有関数）
plt.title( u"ガウス分布（正規分布）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.xlabel(r"$ E[{\rm eV}] $", fontsize=30)
plt.ylabel(r"$ c_n/c_0 $", fontsize=30)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#描画範囲を設定
plt.xlim([E_min, E_max])
plt.ylim([0, 1.05])

#波数分布グラフの描画
plt.plot(E, c_n, linestyle='solid', linewidth = 5)

#グラフの表示
plt.show()

2021年7月28日2021年8月16日

【第13話】箱型障壁に平面波を照射したときのアニメーション！【Pythonコピペで量子力学完全攻略マニュアル】

###############################
## 箱型障壁へ照射した平面波の時間発展（E = 1.0[eV]）
###############################
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#図全体
fig = plt.figure(figsize=(15, 8))
#全体設定
plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman' #フォント
plt.rcParams['font.size'] = 24 #フォントサイズ
plt.rcParams["mathtext.fontset"] = 'cm' #数式用フォント
#カラーリストの取得
colors = plt.rcParams['axes.prop_cycle'].by_key()['color']

#虚数単位
I = 0.0 + 1.0j

################
#　物理定数
################
#プランク定数
h = 6.6260896 * 10**-34
hbar = h / (2.0 * np.pi)
#電子の質量
me = 9.10938215 * 10**-31
#電子ボルト
eV = 1.60217733 * 10**-19

################
#　物理系の設定
################
#電子のエネルギー
E = 1.0 * eV
#波数
k1 = np.sqrt(2.0 * me * E / hbar**2 )
#角振動数
omega = E/hbar
#１周期
T = 2.0 * np.pi / omega
#時間間隔
#dt = 0.2 * 10**-16
dt = T / 100
#時間刻み数
NT = 100

#空間刻み間隔
nm = 1E-9
#壁の厚さ
d = 2.0 * nm
#壁の高さ
V1 = 0 * eV
V2 = 0.8 * eV
V3 = 0 * eV

#描画範囲
x_min = -4.0 * nm
x_max =  6.0 * nm
#描画区間数
NX = 500
#座標点配列の生成
x1 = np.linspace(x_min, 0, NX)
x2 = np.linspace(0, d,     NX)
x3 = np.linspace(d, x_max, NX)

################
#　反射係数と透過係数を計算する関数定義
################
def ReflectionCoefficient( MM ):
    return - MM[1][0] / MM[1][1] 
def TransmissionCoefficient(MM):
    return (MM[0][0] * MM[1][1] - MM[0][1] * MM[1][0] ) / MM[1][1]

k1 = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * (E - V1) / hbar**2 ))
k2 = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * (E - V2) / hbar**2 ))
k3 = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * (E - V3) / hbar**2 ))
#反射係数と透過係数の計算
# 転送行列の定義
M21 = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
T2  = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
M32 = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
# 境界
M21[0][0] = (1.0 + 0.0j + k1 / k2) / 2.0
M21[0][1] = (1.0 + 0.0j - k1 / k2) / 2.0
M21[1][0] = (1.0 + 0.0j - k1 / k2) / 2.0
M21[1][1] = (1.0 + 0.0j + k1 / k2) / 2.0
M32[0][0] = (1.0 + 0.0j + k2 / k3) / 2.0
M32[0][1] = (1.0 + 0.0j - k2 / k3) / 2.0
M32[1][0] = (1.0 + 0.0j - k2 / k3) / 2.0
M32[1][1] = (1.0 + 0.0j + k2 / k3) / 2.0
T2[0][0] = np.exp( I * k2 * d )
T2[0][1] = 0
T2[1][0] = 0
T2[1][1] = np.exp( - I * k2 * d )
#転送行列の計算
M31 = M32 @ T2 @ M21;
#反射係数と透過係数の計算
rc = ReflectionCoefficient(M31);
tc = TransmissionCoefficient(M31);

###############################
## 透過率と反射率の入射波のエネルギー依存性のグラフ描画
###############################
#領域２の係数
A2_p = M21[0][0] * 1.0 + M21[0][1] * rc
A2_m = M21[1][0] * 1.0 + M21[1][1] * rc

#アニメーション作成用
ims=[]
    
#各時刻における計算
for tn in range(NT):
    t = dt * tn

    #波動関数の計算
    #領域１
    phi_I =      np.exp(   I * k1 * x1 - I * omega * t )
    phi_R = rc * np.exp( - I * k1 * x1 - I * omega * t )
    phi1 = phi_I + phi_R
    #領域２
    phi2_p = A2_p * np.exp(   I * k2 * x2 - I * omega * t )
    phi2_m = A2_m * np.exp( - I * k2 * x2 - I * omega * t )
    phi2 = phi2_p + phi2_m 
    #領域３
    phi_T = tc * np.exp(   I * k3 * (x3 - d) - I * omega * t )

    #各コマを描画
    img  = plt.plot(x1/nm, phi1.real, colors[0], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x1/nm, phi1.imag, colors[1], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x1/nm, abs(phi1), colors[2], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x2/nm, phi2.real, colors[0], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x2/nm, phi2.imag, colors[1], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x2/nm, abs(phi2), colors[2], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x3/nm, phi_T.real, colors[0], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x3/nm, phi_T.imag, colors[1], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x3/nm, abs(phi_T), colors[2], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    ims.append( img )


#グラフの描画（波動関数）
plt.title( u"箱型障壁へ照射した平面波の波動関数（" + r"$ E = 1.0 [{\rm eV}], d = 2.0[{\rm nm}], V = 0.8[{\rm eV}] $" + u"）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.xlabel(r"$x\, [{\rm nm}]$", fontsize=30)
plt.ylabel(r"$ \psi(x, t) $", fontsize=30)

#余白の調整
plt.subplots_adjust(left = 0.1, right = 0.98, bottom=0.12, top = 0.95)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#壁の描画
plt.vlines([0], -0.05, 2.05, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )
plt.vlines([2], -0.05, 2.05, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )
plt.hlines([0], -5,  0, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )
plt.hlines([2], 0,  2, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )
plt.hlines([0], 2,  6, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )


#描画範囲を設定
plt.xlim([x_min/nm, x_max/nm])
plt.ylim([-2.0, 2.5])

#アニメーションの生成
ani = animation.ArtistAnimation(fig, ims, interval=10)

#アニメーションの保存
ani.save("output.html", writer=animation.HTMLWriter())
#ani.save("output.gif", writer="imagemagick")
#ani.save("output.mp4", writer="ffmpeg", dpi=300)

#グラフの表示
plt.show()

2021年7月27日2021年8月16日

【第12話】箱型障壁に照射したときの反射率と透過率を計算！【Pythonコピペで量子力学完全攻略マニュアル】

#################################################################
## 透過率と反射率の入射波のエネルギー依存性のグラフ描画（E = 1.0[eV]）
#################################################################
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#図全体
fig = plt.figure(figsize=(15, 8))
#全体設定
plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman' #フォント
plt.rcParams['font.size'] = 24 #フォントサイズ
plt.rcParams["mathtext.fontset"] = 'cm' #数式用フォント
#カラーリストの取得
colors = plt.rcParams['axes.prop_cycle'].by_key()['color']

#虚数単位
I = 0.0 + 1.0j

######################################
#　物理定数
######################################
#プランク定数
h = 6.6260896 * 10**-34
hbar = h / (2.0 * np.pi)
#電子の質量
me = 9.10938215 * 10**-31
#電子ボルト
eV = 1.60217733 * 10**-19

######################################
#　物理系の設定
######################################
#空間刻み間隔
nm = 1E-9
#壁の厚さ
d = 2.0 * nm
#壁の高さ
V1 = 0 * eV
V2 = 1.0 * eV
V3 = 0 * eV

######################################
#　反射係数と透過係数を計算する関数定義
######################################
def ReflectionCoefficient( MM ):
 return - MM[1][0] / MM[1][1] 
def TransmissionCoefficient(MM):
 return (MM[0][0] * MM[1][1] - MM[0][1] * MM[1][0] ) / MM[1][1]
def calculateCoefficient( k1, k2, k3, d):
 # 転送行列の定義
 M21 = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
 T2  = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
 M32 = np.zeros((2,2), dtype=np.complex)
 # 境界
 M21[0][0] = (1.0 + 0.0j + k1 / k2) / 2.0
 M21[0][1] = (1.0 + 0.0j - k1 / k2) / 2.0
 M21[1][0] = (1.0 + 0.0j - k1 / k2) / 2.0
 M21[1][1] = (1.0 + 0.0j + k1 / k2) / 2.0
 M32[0][0] = (1.0 + 0.0j + k2 / k3) / 2.0
 M32[0][1] = (1.0 + 0.0j - k2 / k3) / 2.0
 M32[1][0] = (1.0 + 0.0j - k2 / k3) / 2.0
 M32[1][1] = (1.0 + 0.0j + k2 / k3) / 2.0
 T2[0][0] = np.exp( I * k2 * d )
 T2[0][1] = 0
 T2[1][0] = 0
 T2[1][1] = np.exp( - I * k2 * d )
 #転送行列の計算
 M31 = M32 @ T2 @ M21;
 #反射係数と透過係数の計算
 rc = ReflectionCoefficient(M31);
 tc = TransmissionCoefficient(M31);
 return rc, tc

#################################################################
## 透過率と反射率の入射波のエネルギー依存性のグラフ描画
#################################################################
#エネルギーの計算範囲
E_min = 0.001
E_max = 3.0
#計算点数
NK = 500

#エネルギーの行列
Es = np.linspace(E_min, E_max, NK)

#反射率と透過率の配列
Rs = []
Ts = []
for E in Es:
 E = E * eV
 #波数の計算
 k1 = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * (E - V1) / hbar**2 ))
 k2 = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * (E - V2) / hbar**2 ))
 k3 = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * (E - V3) / hbar**2 ))
 rc, tc = calculateCoefficient( k1, k2, k3, d)
 Rs.append( abs(rc)**2 )
 Ts.append( abs(tc)**2 )

#グラフの描画（固有関数）
plt.title( u"透過率と反射率の入射波のエネルギー依存性のグラフ（壁の厚さ：" + r"$2.0[{\rm nm}]$" + ", 壁の高さ：" + r"$1.0[{\rm eV}]$" + u"）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.xlabel(u"入射波のエネルギー" + r"$[{\rm eV}]$"  ,  fontname="Yu Gothic", fontsize=20, fontweight=1000)
plt.ylabel(u"反射率と透過率", fontname="Yu Gothic", fontsize=20, fontweight=1000)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#描画範囲を設定
plt.xlim([0, 3])
plt.ylim([0, 1])

#波数分布グラフの描画
plt.plot(Es, Rs, linestyle='solid', linewidth = 5)
plt.plot(Es, Ts, linestyle='solid', linewidth = 5)

#グラフの表示
plt.show()

2021年7月27日2021年8月16日

【第11話】Q．壁の高さがマイナスの場合、波束の運動はどうなる？【Pythonコピペで量子力学完全攻略マニュアル】

2021年7月27日2021年8月16日

【第10話】Q．中心エネルギーが20[eV]のガウス波束を、中心エネルギーと同じ、20[eV]の壁に衝突させたらどうなるだろう？【Pythonコピペで量子力学完全攻略マニュアル】

2021年7月27日2021年8月16日

【第９話】有限の高さの障壁に向けて照射した電子パルスのアニメーション【Pythonコピペで量子力学完全攻略マニュアル】

#############################################################
## 有限の高さの障壁に向けてガウス波束を照射したときの時間発展（E = 10.0[eV]）
#############################################################
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#図全体
fig = plt.figure(figsize=(15, 8))
#全体設定
plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman' #フォント
plt.rcParams['font.size'] = 24 #フォントサイズ
plt.rcParams["mathtext.fontset"] = 'cm' #数式用フォント
#カラーリストの取得
colors = plt.rcParams['axes.prop_cycle'].by_key()['color']

#虚数単位
I = 0.0 + 1.0j

#######################
#　物理定数
#######################
#プランク定数
h = 6.6260896 * 10**-34
hbar = h / (2.0 * np.pi)
#電子の質量
me = 9.10938215 * 10**-31
#電子ボルト
eV = 1.60217733 * 10**-19

#######################
## 物理系の設定
#######################
#波束の中心エネルギー
E0 = 20.0 * eV
#重ね合わせの数
NK = 1000
#ガウス分布の幅
sigma = 2 / ( 1.25 * 10**-9 )
#波数の間隔
dk = 10.0 * sigma / NK
#ガウス分布の中心波数
k0 = np.sqrt( 2.0 * me * E0 / hbar**2)
#空間分割サイズ
dx = 1.0 * 10**-9
#空間分割数
NX = 500
#描画範囲
x_min = -10.0 * dx
x_max =  10.0 * dx
#壁の高さ
V = 10.0 * eV
#ガウス波束の初期位置
x0 = -7.5 * dx

#計算時間の幅
ts = 0
te = 300
#時間間隔
dt = 0.3 * 10**-16

#ガウス波束の値を計算する関数
def Psi( x, t, region ):
    #波動関数値の初期化
    psi = x * (0.0 + 0.0j)
    #各波数ごとの寄与を足し合わせる
    for kn in range(NK):
        #各波数を取得
        k1 = k0 + dk * (kn - NK/2)
        #波数から各振動数を取得
        omega = hbar / (2.0 * me) * k1**2
        #平面波のエネルギー
        E = (hbar * k1)**2 / (2.0 * me)
        #領域IIの波数
        k2 = np.sqrt(np.complex128( 2.0 * me * (E - V) / hbar**2 )) 
        #反射係数
        rc = ( k1 - k2 ) / ( k1 + k2 )
        #透過係数
        tc = 2.0 * k1 / ( k1 + k2 )

        #入射波と反射波と透過波
        phi_I = np.exp( I * k1 * x - I * omega * t )
        phi_R = rc * np.exp( - I * k1 * x - I * omega * t )
        phi_T = tc * np.exp( I * k2 * x - I * omega * t )
        #ガウス分布
        Ck = np.exp( - I * k1 * x0 ) * np.exp( -( (k1 - k0) / (2.0 * sigma) )**2 )
        #平面波を足し合わせる
        if(region == 1):
            psi += (phi_I + phi_R) * Ck
        elif(region == 2):
            psi += phi_T * Ck

    return psi

#基準となる振幅を取得
psi_abs = abs(Psi( x0, 0, 1 ))

#座標点配列の生成
x1 = np.linspace(x_min, 0, NX)
x2 = np.linspace(0, x_max, NX)

#アニメーション作成用
ims=[]

### 波束の空間分布の計算
for tn in range(ts, te + 1):
    #実時間の取得
    t = dt * tn
    #時刻tの波動関数を取得
    psi1 = Psi( x1, t, 1 )
    psi2 = Psi( x2, t, 2 )
    #波動関数の規格化
    psi1 /= psi_abs
    psi2 /= psi_abs
    #各コマを描画
    img  = plt.plot(x1/dx, psi1.real, colors[0], linestyle='solid', linewidth = 3.0)
    img += plt.plot(x1/dx, psi1.imag, colors[1], linestyle='solid', linewidth = 3.0)
    img += plt.plot(x1/dx, abs(psi1), colors[2], linestyle='solid', linewidth = 3.0)
    img += plt.plot(x2/dx, psi2.real, colors[3], linestyle='solid', linewidth = 3.0)
    img += plt.plot(x2/dx, psi2.imag, colors[4], linestyle='solid', linewidth = 3.0)
    img += plt.plot(x2/dx, abs(psi2), colors[5], linestyle='solid', linewidth = 3.0)

    #time = plt.text( 8.5, 1.57, "t = " +  str(round(t/10**-15, 1)) + r"$[{\rm fs}]$" , ha='left', va='center', fontsize=18)
    #テキストをグラフに追加
    #img.append(time)
    #アニメーションに追加
    ims.append(img)

#グラフの描画（波動関数）
plt.title( u"有限の高さの障壁に向けて照射したガウス波束の波動関数（" + r"$ E_0 = 20.0 [{\rm eV}] , V = -20.0 [{\rm eV}] $" + u"）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.xlabel( r"$ x [{\rm nm} ] $", fontsize=30 )
plt.ylabel( r"$ \psi(x,t) $", fontsize=30 )
#余白の調整
plt.subplots_adjust(left = 0.1, right = 0.98, bottom=0.15, top = 0.95)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#壁の描画
plt.vlines([0], +0.025, -1.025, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )
plt.hlines([0], -10,  0, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )
plt.hlines([-1], 0,  10, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )

#描画範囲を設定
plt.xlim([x_min/dx, x_max/dx])
plt.ylim([-1.1, 1.5])

#アニメーションの生成
ani = animation.ArtistAnimation(fig, ims, interval=50)
#アニメーションの保存
ani.save("output.html", writer=animation.HTMLWriter())
#ani.save("output.gif", writer="imagemagick")
ani.save("output.mp4", writer="ffmpeg", dpi=300)

#######################
## ガウス分布の描画
#######################
fig_gaussian = plt.figure(figsize=(15, 8))

#波数の計算範囲
k_min = k0 - dk * NK / 2.0
k_max = k0 + dk * NK / 2.0

#波数座標点配列の生成
k = np.linspace(k_min, k_max, NK)
#正規分布
c_n = np.exp( -((k - k0) / (2.0 * sigma))**2 )

#グラフの描画（固有関数）
plt.title( u"ガウス分布（正規分布）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.xlabel(r"$ (k_n - \bar{k})/\sigma $", fontsize=30)
plt.ylabel(r"$ c_n/c_0 $", fontsize=30)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)


#描画範囲を設定
plt.xlim([(k_min- k0)/sigma, (k_max- k0)/sigma])
plt.ylim([0, 1.05])

#波数分布グラフの描画
plt.plot((k-k0)/sigma, c_n, linestyle='solid', linewidth = 5)

#グラフの表示
plt.show()

2021年7月27日2021年8月16日

【第６話】無限に高い障壁へ照射アニメーション【Pythonコピペで量子力学完全攻略マニュアル】

#################################################################
## 無限に高い障壁へ照射した平面波の時間発展（E = 1.0[eV]）
#################################################################
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#図全体
fig = plt.figure(figsize=(15, 8))
#全体設定
plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman' #フォント
plt.rcParams['font.size'] = 24 #フォントサイズ
plt.rcParams["mathtext.fontset"] = 'cm' #数式用フォント
#カラーリストの取得
colors = plt.rcParams['axes.prop_cycle'].by_key()['color']

#虚数単位
I = 0.0 + 1.0j

######################################
#　物理定数
######################################
#プランク定数
h = 6.6260896 * 10**-34
hbar = h / (2.0 * np.pi)
#電子の質量
me = 9.10938215 * 10**-31
#電子ボルト
eV = 1.60217733 * 10**-19

######################################
#　物理系の設定
######################################
#電子のエネルギー
E1 = 1.0 * eV
#波数
k1 = np.sqrt(2.0 * me * E1 / hbar**2 )
#角振動数
omega1 = E1/hbar
#１周期
T1 = 2.0 * np.pi / omega1
#時間間隔
#dt = 0.2 * 10**-16
dt = T1 / 100
#時間刻み数
NT = 1000
#空間刻み間隔
dx = 1E-9
#描画範囲
x_min = -5.0 * dx
x_max =  0.0 * dx
#描画区間数
NX = 500
#座標点配列の生成
x = np.linspace(x_min, x_max, NX)

#アニメーション作成用
ims=[]
    
#各時刻における計算
for tn in range(NT):
    t = dt * tn
    #波動関数の計算
    phi_I = np.exp( I * k1 * x - I * omega1 * t )
    phi_R = np.exp( - I * k1 * x - I * omega1 * t )
    phi = phi_I - phi_R

    #各コマを描画
    img  = plt.plot(x/dx, phi_I.real, colors[0], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x/dx, phi_R.real, colors[1], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    img += plt.plot(x/dx, phi.real, colors[2], linestyle='solid', linewidth = 5.0)
    ims.append( img )

#グラフの描画（波動関数）
plt.title( u"無限に高い障壁へ照射した平面波の波動関数（" + r"$ E = 1.0 [{\rm eV}] $" + u"）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.xlabel(r"$x\, [{\rm nm}]$", fontsize=30)
plt.ylabel(r"$ {\rm Re}\{\psi(x, t)\} $", fontsize=30)

#余白の調整
plt.subplots_adjust(left = 0.1, right = 0.98, bottom=0.12, top = 0.95)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#壁の描画
plt.vlines([0], -5, 5, "black", linestyles='solid', linewidth = 10 )


#描画範囲を設定
plt.xlim([x_min/dx, x_max/dx + 0.5])
plt.ylim([-3.1, 3.1])

#アニメーションの生成
ani = animation.ArtistAnimation(fig, ims, interval=10)

#アニメーションの保存
#ani.save("output.html", writer=animation.HTMLWriter())
#ani.save("output.gif", writer="imagemagick")
ani.save("output.mp4", writer="ffmpeg", dpi=300)

#グラフの表示
plt.show()

2021年7月27日2021年8月16日

【第５話】電子パルスの運動アニメーション【Pythonコピペで量子力学完全攻略マニュアル】

#################################################################
## ガウス波束の運動
#################################################################
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#図全体
fig = plt.figure(figsize=(15, 8))
#全体設定
plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman' #フォント
plt.rcParams['font.size'] = 24 #フォントサイズ
plt.rcParams["mathtext.fontset"] = 'cm' #数式用フォント
#カラーリストの取得
colors = plt.rcParams['axes.prop_cycle'].by_key()['color']

#虚数単位
I = 0.0 + 1.0j

#################################################################
## 物理定数
#################################################################
#プランク定数
h = 6.62607015 * 1.0E-34
hbar = h / (2.0 * np.pi)
#電子の質量
me = 9.1093837015 * 1.0E-31
#電子ボルト
eV = 1.602176634 * 1.0E-19

#################################################################
## 物理系の設定
#################################################################
#波束の中心エネルギー
E_bar = 1.0 * eV
#重ね合わせの数
NK = 200
#ガウス分布の幅
sigma = 1.0 / ( 1.25 * 10**-9 )
#波数の間隔
dk = 10.0 * sigma / NK
#ガウス分布の中心
k_bar = np.sqrt( 2.0 * me * E_bar / hbar**2)
#空間分割サイズ
dx = 1.0 * 10**-9
#空間分割数
NX = 500
#計算区間
x_min = -10.0 * dx
x_max = 10.0 * dx

#計算時間の幅
ts = -100
te = 100
#時間間隔
dt = 4.0 * 10**-16

#ガウス波束の値を計算する関数
def Psi( x, t ):
 #波動関数値の初期化
 psi = x * (0.0 + 0.0j)
 #各波数ごとの寄与を足し合わせる
 for kn in range(NK):
  #各波数を取得
  k = k_bar + dk * (kn - NK/2)
  #波数から各振動数を取得
  omega = hbar / (2.0 * me) * k**2
  #平面波を足し合わせる
  psi += np.exp(I * k * x ) * np.exp(- I * omega * t) * np.exp( -( (k - k_bar) / (2.0 * sigma) )**2 )

 return psi

#基準となる振幅を取得
psi_abs = abs(Psi( 0, 0 ))

#座標点配列の生成
x = np.linspace(x_min, x_max, NX)

#アニメーション作成用
ims=[]

### 波束の空間分布の計算
for tn in range(ts, te + 1):
 #実時間の取得
 t = dt * tn
 #時刻t=0の波動関数を取得
 psi = Psi( x, t )
 #波動関数の規格化
 psi /= psi_abs
 #各コマを描画
 img  = plt.plot(x/dx, psi.real, colors[0], linestyle='solid', linewidth = 3.0)
 img += plt.plot(x/dx, psi.imag, colors[1], linestyle='solid', linewidth = 3.0)
 img += plt.plot(x/dx, abs(psi),  colors[2], linestyle='solid', linewidth = 3.0)
 time = plt.text(8, 1.15, "t = " +  str(round(t/10**-15, 1)) + r"$[{\rm fs}]$" , ha='left', va='center', fontsize=18)
 #テキストをグラフに追加
 img.append(time)
 #アニメーションに追加
 ims.append(img)

#グラフの描画（波動関数）
plt.title( u"ガウス波束の運動", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000 )
plt.xlabel( r"$ x [{\rm nm} ] $", fontsize=30 )
plt.ylabel( r"$ \psi(x,t) $", fontsize=30 )
#余白の調整
plt.subplots_adjust(left = 0.1, right = 0.98, bottom=0.15, top = 0.95)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#描画範囲を設定
plt.xlim([x_min/dx, x_max/dx])
plt.ylim([-1.1, 1.1])

#アニメーションの生成
ani = animation.ArtistAnimation(fig, ims, interval=50)
#アニメーションの保存
#ani.save("output.html", writer=animation.HTMLWriter())
#ani.save("output.mp4", writer="ffmpeg", dpi=300)

#################################################################
## ガウス分布の描画
#################################################################
fig_gaussian = plt.figure(figsize=(15, 8))

#波数の計算範囲
k_min = k_bar - dk * NK / 2.0
k_max = k_bar + dk * NK / 2.0

#波数座標点配列の生成
k = np.linspace(k_min, k_max, NK)
#正規分布
c_n = np.exp( -((k - k_bar) / (2.0 * sigma))**2 )

#グラフの描画（固有関数）
plt.title( u"ガウス分布（正規分布）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.xlabel(r"$ (k_n - \bar{k})/\sigma $", fontsize=30)
plt.ylabel(r"$ c_n/c_0 $", fontsize=30)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#描画範囲を設定
plt.xlim([(k_min- k_bar)/sigma, (k_max- k_bar)/sigma])
plt.ylim([0, 1.05])

#波数分布グラフの描画
plt.plot((k-k_bar)/sigma, c_n, linestyle='solid', linewidth = 5)

#グラフの表示
plt.show()

2021年7月27日2021年8月16日

【第４話】電子パルスの作り方【Pythonコピペで量子力学完全攻略マニュアル】

#################################################################
## ガウス波束の空間分布
#################################################################
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#図全体
fig = plt.figure(figsize=(15, 8))
#全体設定
plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman' #フォント
plt.rcParams['font.size'] = 24 #フォントサイズ
plt.rcParams["mathtext.fontset"] = 'cm' #数式用フォント
#カラーリストの取得
colors = plt.rcParams['axes.prop_cycle'].by_key()['color']

#虚数単位
I = 0.0 + 1.0j

#################################################################
## 物理定数
#################################################################
#プランク定数
h = 6.62607015 * 1.0E-34
hbar = h / (2.0 * np.pi)
#電子の質量
me = 9.1093837015 * 1.0E-31
#電子ボルト
eV = 1.602176634 * 1.0E-19

#################################################################
## 物理系の設定
#################################################################
#波束の中心エネルギー
E0 = 10.0 * eV
#重ね合わせの数
NK = 500
#ガウス分布の幅
sigma = 1.0 / ( 1.25 * 10**-9 )
#波数の間隔
dk = 10.0 * sigma / NK
#ガウス分布の中心
k0 = np.sqrt( 2.0 * me * E0 / hbar**2)
#空間分割サイズ
dx = 1.0 * 10**-9
#空間分割数
NX = 500
#計算区間
x_min = -5.0 * dx
x_max = 5.0 * dx

#ガウス波束の値を計算する関数
def Psi( x, t ):
    #波動関数値の初期化
    psi = x * (0.0 + 0.0j)
    #各波数ごとの寄与を足し合わせる
    for kn in range(NK):
        #各波数を取得
        k = k0 + dk * (kn - NK/2)
        #波数から各振動数を取得
        omega = hbar / (2.0 * me) * k**2
        #平面波を足し合わせる
        psi += np.exp(I * k * x ) * np.exp(- I * omega * t) * np.exp( -( (k - k0) / (2.0 * sigma) )**2 )

    return psi

#基準となる振幅を取得
psi_abs = abs(Psi( 0, 0 ))

#座標点配列の生成
x = np.linspace(x_min, x_max, NX)

#時刻t=0の波動関数を取得
psi = Psi( x, 0 )
#波動関数の規格化
psi /= psi_abs

#グラフの描画（波動関数）
plt.title( u"ガウス波束", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000 )
plt.xlabel( r"$ x [{\rm nm} ] $", fontsize=30 )
plt.ylabel( r"$ \psi(x,0) $", fontsize=30 )

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#描画範囲を設定
plt.xlim([x_min/dx, x_max/dx])
plt.ylim([-1.1, 1.1])

#グラフの描画
plt.plot(x/dx, psi.real, linestyle='solid', linewidth = 5)
plt.plot(x/dx, psi.imag, linestyle='solid', linewidth = 5)
plt.plot(x/dx, abs(psi), linestyle='solid', linewidth = 5)

#余白の調整
plt.subplots_adjust(left = 0.1, right = 0.98, bottom=0.15, top = 0.95)

#################################################################
## ガウス分布の描画
#################################################################
fig_gaussian = plt.figure(figsize=(15, 8))

#波数の計算範囲
k_min = k0 - dk * NK / 2.0
k_max = k0 + dk * NK / 2.0

#波数座標点配列の生成
k = np.linspace(k_min, k_max, NK)
#正規分布
C_k = np.exp( -((k - k0) / (2.0 * sigma))**2 )

#グラフの描画（固有関数）
plt.title( u"ガウス分布（正規分布）", fontsize=20, fontname="Yu Gothic", fontweight=1000)
plt.xlabel(r"$ (k - k_0)/\sigma $", fontsize=30)
plt.ylabel(r"$ C(k)/C_0 $", fontsize=30)

#罫線の描画
plt.grid(which = "major", axis = "x", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)
plt.grid(which = "major", axis = "y", alpha = 0.8, linestyle = "-", linewidth = 1)

#余白の調整
plt.subplots_adjust(left = 0.1, right = 0.98, bottom=0.15, top = 0.95)

#描画範囲を設定
plt.xlim([(k_min- k0)/sigma, (k_max- k0)/sigma])
plt.ylim([0, 1.05])

#波数分布グラフの描画
plt.plot((k-k0)/sigma, C_k, linestyle='solid', linewidth = 5)

#グラフの表示
plt.show()