軌道角運動量とスピン角運動量を合成したときの固有関数とエネルギーシフト

この前、軌道角運動量とスピン角運動量の合成方法を復習したね。その時に、合成後の量子数 $n, l, j, m_j$ で指定した固有関数と、元の量子数の組み合わせ $n, l, m, s_z$ の固有関数との関係には触れてなかったね。この関係は、合成後の角運動量 $\hat{\boldsymbol{J}} = \hat{\boldsymbol{L}}+ \hat{\boldsymbol{S}}$ を用いた昇降演算子 $\hat{J}^{\pm} = \hat{J}_x \pm i \hat{J}_y$ を用いて計算することができるよ(クレプシュ―ゴルダン係数)。さらにスピン―軌道相互作用を考慮したエネルギー準位を計算した結果(エネルギーシフト)も列挙するよ($n=1,2,3$)。

$n$ $l$ $j$ 記号 $\Delta E\,[{\rm eV}]$ $m_j$ 固有関数 空間分布
$1$ $0$ $\frac{1}{2}$ $^{1}S_{\frac{1}{2}}$ $0$ $ -\frac{1}{2}$ $\varphi_{100\downarrow}$
$ \frac{1}{2}$ $\varphi_{100\uparrow}$
$2$ $ 0$ $\frac{1}{2}$ $^{2}S_{\frac{1}{2}}$ $0$ $ -\frac{1}{2}$ $\varphi_{200\downarrow}$
$ \frac{1}{2}$ $\varphi_{200\uparrow}$
$ 1$ $\frac{1}{2}$ $^{2}P_{\frac{1}{2}}$ $-9.48388 \times 10^{-5}$ $ -\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[\sqrt{2}\varphi_{21-1\uparrow} – \varphi_{210\downarrow} \right] $
$ \frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[\varphi_{210\uparrow} – \sqrt{2} \varphi_{21+1\downarrow} \right] $
$\frac{3}{2}$ $^{2}P_{\frac{3}{2}}$ $-4.74194 \times 10^{-5}$ $-\frac{3}{2}$ $ \varphi_{21-1\downarrow} $
$-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \varphi_{21-1\uparrow} + \sqrt{2}\varphi_{210\downarrow} \right] $
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \sqrt{2} \varphi_{210\uparrow} + \varphi_{21+1\downarrow} \right] $
$\frac{3}{2}$ $\varphi_{21+1\uparrow}$
$3$ $ 0$ $\frac{1}{2}$ $^{3}S_{\frac{1}{2}}$ $0$ $ -\frac{1}{2}$ $\varphi_{300\downarrow}$
$ \frac{1}{2}$ $\varphi_{300\uparrow}$
$ 1$ $\frac{1}{2}$ $^{3}P_{\frac{1}{2}}$ $-2.81004 \times 10^{-5}$ $ -\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[\sqrt{2}\varphi_{31-1\uparrow} – \varphi_{310\downarrow} \right] $
$ \frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[\varphi_{310\uparrow} – \sqrt{2} \varphi_{31+1\downarrow} \right] $
$\frac{3}{2}$ $^{3}P_{\frac{3}{2}}$ $1.40502 \times 10^{-5}$ $-\frac{3}{2}$ $ \varphi_{31-1\downarrow} $
$-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \varphi_{31-1\uparrow} + \sqrt{2}\varphi_{310\downarrow} \right] $
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \sqrt{2} \varphi_{310\uparrow} + \varphi_{31+1\downarrow} \right] $
$\frac{3}{2}$ $\varphi_{31+1\uparrow}$
$ 2$ $\frac{3}{2}$ $^{3}D_{\frac{3}{2}}$ $-8.43012 \times 10^{-6}$ $-\frac{3}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ 2\varphi_{32-2\uparrow} -\varphi_{32-1\downarrow} \right] $
$-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \sqrt{3}\varphi_{32-1\uparrow} -\sqrt{2} \varphi_{320\downarrow} \right] $
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \sqrt{2}\varphi_{320\uparrow} -\sqrt{3} \varphi_{32+1\downarrow} \right] $
$\frac{3}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \varphi_{32+1\uparrow} -2 \varphi_{32+2\downarrow} \right] $
$\frac{5}{2}$ $^{3}D_{\frac{5}{2}}$ $5.62008 \times 10^{-6}$ $-\frac{5}{2}$ $\varphi_{32-2\downarrow}$
$-\frac{3}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \varphi_{32-2\uparrow} + 2 \varphi_{32-1\downarrow} \right] $
$-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \sqrt{2} \varphi_{32-1\uparrow} + \sqrt{3} \varphi_{320\downarrow} \right] $
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \sqrt{3} \varphi_{320\uparrow} + \sqrt{2} \varphi_{32+1\downarrow} \right] $
$\frac{3}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{5}} \left[ 2 \varphi_{32+1\uparrow} + \varphi_{32+2\downarrow} \right] $
$\frac{5}{2}$ $\varphi_{32+2\uparrow}$


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