水素原子の外場による光電効果の数値計算方法（改）

この前、水素原子の外場による光電効果の数値計算方法を導出したけれども、この表式では、放出した電子は外場の影響をうけてしまって、放出方向がわからなくなってしまうね。今回はもう少し物理的な描像がわかりやすくなるような表式の導入を行うよ。波動関数を初期状態とする水素原子の基底状態 $\varphi_{100}$ と飛び出した電子の平面波を表す項の２つで

\begin{align}
\psi(\boldsymbol{r}, t) = a(t) \varphi_{100}(\boldsymbol{r}) + \sum\limits_{\boldsymbol{n}}’b_{\boldsymbol{n}}(t) \frac{1}{\sqrt{V}} \, e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}
\end{align}

と表すとするよ。ただし、$ \boldsymbol{k} = \frac{2\pi}{L}(n_x, n_y, n_z) $ で、$L$ は空間サイズで $V =L^3$、 $\boldsymbol{n} = (n_x, n_y, n_z)$ は整数だよ。注意する点は、上記の和はすべての $\boldsymbol{n}$ で取らずに、基底状態 $\varphi_{100}(\boldsymbol{\boldsymbol{r}})$ の波数成分

\begin{align}
\varphi_{100}(\boldsymbol{\boldsymbol{k}}) = \frac{1}{\sqrt{V}} \int \varphi_{100}(\boldsymbol{r})e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} dV
\end{align}

を含まない $\boldsymbol{n}$ に限って和を取るという制限をつけるよ。そうすることで、

\begin{align}
\int \varphi_{100}(\boldsymbol{r})e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} dV = 0
\end{align}

というふうに、基底状態と平面波が直交すると考えることができるからね。これをハミルトニアン

\begin{align}
\hat{H} = \hat{H}_0 + \frac{e}{m_e}\,\boldsymbol{A}\cdot \hat{\boldsymbol{p}} =\hat{H}_0 + \frac{e}{im_e}
\,\boldsymbol{A}\cdot\nabla
\end{align}

とするシュレーディンガー方程式

\begin{align}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi(\boldsymbol{r}, t) = \hat{H} \psi(\boldsymbol{r}, t)
\end{align}

に代入した

\begin{align}
i\hbar \left[\varphi_{100}(\boldsymbol{r}) \frac{d a(t)}{d t} + \sum\limits_{\boldsymbol{n}}’ \frac{1}{\sqrt{V}} \, e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} \frac{d b_{\boldsymbol{n}}(t)}{dt} \right] = a(t) \left(E_{100} +\frac{e}{m_e}\,\boldsymbol{A}\cdot \hat{\boldsymbol{p}}\right)\varphi_{100}(\boldsymbol{r}) + \left( \hat{H}_0 + \frac{e}{m_e}\,\boldsymbol{A}\cdot \hat{\boldsymbol{p}} \right) \sum\limits_{\boldsymbol{n}}’b_{\boldsymbol{n}}(t) \frac{1}{\sqrt{V}} \, e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}
\end{align}

から出発して、展開係数 $a(t)$ と $b_{\boldsymbol{n}}(t)$ の時間発展の表式を導出するよ。ちなみに、外場は波数ベクトル $\boldsymbol{K}$、角振動数 $\omega$ のベクトルポテンシャル

\begin{align}
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}_0 \left[ e^{i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r} – i\omega t} + e^{-i\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{r} + i\omega t}\right]
\end{align}

で表すよ。ただし、分散関係は電磁波なので光速 $c$ を用いて $\omega = cK$ となるよ。

１．両辺に $\varphi_{100}^*(\boldsymbol{r})$ を掛けて全空間で積分

先の基底状態と平面波の直交性と、$\hat{\boldsymbol{p}}/m_e = [ \hat{H}_0,\boldsymbol{r}]/i\hbar $を考慮して、両辺に $\varphi_{100}^*(\boldsymbol{r})$ を掛けて全空間で積分すると次のようになるよ。

\begin{align}
i\hbar \frac{d a(t)}{d t} = E_{100}a(t) + \frac{\hbar e}{im_e}\sum\limits_{\boldsymbol{n}}’b_{\boldsymbol{n}}(t)\frac{1}{\sqrt{V}} \int \varphi_{100}^*(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{A}\cdot \nabla e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} dV
\end{align}

第２項目の積分は

\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{V}} \int \varphi_{100}^*(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{A}\cdot \nabla e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} dV &\ = i\boldsymbol{A}_0\cdot\boldsymbol{k} \left[ \frac{1}{\sqrt{V}} \int \varphi_{100}^*(\boldsymbol{r}) e^{i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{K})\cdot\boldsymbol{r}} dV e^{-i\omega t } + \frac{1}{\sqrt{V}} \int \varphi_{100}^*(\boldsymbol{r}) e^{i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{K})\cdot\boldsymbol{r}} dV e^{i\omega t } \right] \\
&\ = i\boldsymbol{A}_0\cdot\boldsymbol{k} \left[ \varphi_{100}^*(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{K})e^{-i\omega t } +\varphi_{100}^*(\boldsymbol{k} – \boldsymbol{K})e^{i\omega t } \right]
\end{align}

と表すことができるので、これを元の式に代入した

\begin{align}
i\hbar \frac{d a(t)}{d t} = E_{100}a(t) + \frac{\hbar e}{m_e}\sum\limits_{\boldsymbol{n}}’ \boldsymbol{A}_0\cdot\boldsymbol{k} \left[ \varphi_{100}^*(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{K})e^{-i\omega t } +\varphi_{100}^*(\boldsymbol{k} – \boldsymbol{K})e^{i\omega t } \right]b_{\boldsymbol{n}}(t)
\end{align}

が、係数 $a(t)$ に対する常微分方程式だね。この式はひとまず置いておくよ。

２．両辺に $\frac{1}{\sqrt{V}} e^{-i\boldsymbol{k}’\cdot\boldsymbol{r}}$ を掛けて全空間で積分

今度は、平面波の展開係数に関する表式を得るために、両辺に $\frac{1}{\sqrt{V}} e^{-i\boldsymbol{k}’\cdot\boldsymbol{r}}$ を掛けて全空間で積分するよ。基底状態と平面波の直交性を考慮すると次のようになるよ。

\begin{align}
i\hbar \frac{d b_{\boldsymbol{n}’}(t)}{d t} = a(t) \frac{\hbar e}{m_e}\frac{1}{\sqrt{V}} \int e^{-i\boldsymbol{k}’\cdot\boldsymbol{r}} \boldsymbol{A}\cdot \hat{\boldsymbol{p}} \varphi_{100}(\boldsymbol{r}) dV + \sum\limits_{\boldsymbol{n}}’b_{\boldsymbol{n}}(t)\, \frac{1}{V}\int e^{-i\boldsymbol{k}’\cdot\boldsymbol{r} } \left( \hat{H}_0 + \frac{e}{m_e}\,\boldsymbol{A}\cdot \hat{\boldsymbol{p}} \right) e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} dV
\end{align}

この内、まず右辺第２目は、平面波同士の相互作用を表しているね。もう少し具体的に言うと、$H_0$ 因子は原子核の存在による変化、$\boldsymbol{A}\cdot \hat{\boldsymbol{p}}$ 因子は外場による変化を表しているね。今回は、光電効果に着目するので、電離したあとの電子は、原子核や外場の影響を受けずににまっすぐ進んでと想定したいので、この項を無視するね。
次に、第１項目だけれども、この積分は先に導出した積分と非常によく似ているね。部分積分を行って整理すると

\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{V}} \int e^{-i\boldsymbol{k}’\cdot\boldsymbol{r}} \boldsymbol{A}\cdot \hat{\boldsymbol{p}}\varphi_{100}(\boldsymbol{r}) dV
&\ = i \boldsymbol{A}_0\cdot \boldsymbol{k}’\left[ \frac{1}{\sqrt{V}} \int \varphi_{100}(\boldsymbol{r}) e^{-i(\boldsymbol{k}’-\boldsymbol{K})\cdot\boldsymbol{r}} dV e^{-i\omega t } + \frac{1}{\sqrt{V}} \int \varphi_{100}(\boldsymbol{r})e^{-i(\boldsymbol{k}’+\boldsymbol{K})\cdot\boldsymbol{r}} dV e^{i\omega t } \right]\\
&\ = i\boldsymbol{A}_0\cdot\boldsymbol{k}’ \left[ \varphi_{100}(\boldsymbol{k}’-\boldsymbol{K})e^{-i\omega t }
+\varphi_{100}(\boldsymbol{k}’ + \boldsymbol{K})e^{i\omega t } \right]
\end{align}

と表すことができるので、これを元の式に代入した

\begin{align}
i\hbar \frac{d b_{\boldsymbol{n}’}(t)}{d t} = \frac{\hbar e}{m_e} \boldsymbol{A}_0\cdot\boldsymbol{k}’ \left[ \varphi_{100}(\boldsymbol{k}’-\boldsymbol{K})e^{-i\omega t }
+\varphi_{100}(\boldsymbol{k}’ + \boldsymbol{K})e^{i\omega t } \right]a(t)
\end{align}

まとめ

以上をまとめると、基底状態の係数 $a(t)$ と平面波の展開係数 $b_{\boldsymbol{n}}(t)$ は連立常微分方程式

\begin{align}
i\hbar \frac{d a(t)}{d t} &\ = E_{100}a(t) + \frac{\hbar e}{m_e}\sum\limits_{\boldsymbol{n}}’
\boldsymbol{A}_0\cdot\boldsymbol{k} \left[ \varphi_{100}^*(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{K})e^{-i\omega t }
+\varphi_{100}^*(\boldsymbol{k} – \boldsymbol{K})e^{i\omega t } \right]b_{\boldsymbol{n}}(t)\\
i\hbar \frac{d b_{\boldsymbol{n}’}(t)}{d t} &\ = \frac{\hbar e}{m_e} \boldsymbol{A}_0\cdot\boldsymbol{k}’ \left[ \varphi_{100}(\boldsymbol{k}’-\boldsymbol{K})e^{-i\omega t }+\varphi_{100}(\boldsymbol{k}’ + \boldsymbol{K})e^{i\omega t } \right]a(t)
\end{align}

に従って時間発展するね。基底状態のフーリエ変換はすでに計算しているのでこれを利用して、初期条件を $a(0)=1$、$b_{\boldsymbol{n}}(0) =0$ として、時刻が大きくなるに連れて、$|a(t)|^2$ が小さくなって行くに従って $b_{\boldsymbol{n}}(t)$ が大きくなることが想定されるね。そのときの $\boldsymbol{n}$ の分布が電子が飛び出していく方向を表すよ。次回は実際に計算してみるよ。